一、范畴论
函数式编程的起源，是一门叫做范畴论（Category Theory）的数学分支。
理解函数式编程的关键，就是理解范畴论。它是一门很复杂的数学，认为世界上所有的概念体系，都可以抽象成一个个的“范畴”（category）。
1.1 范畴的概念
什么是范畴呢？
维基百科的一句话定义如下。
“范畴就是使用箭头连接的物体。”（In mathematics, a category is an algebraic structure that comprises "objects" that are linked by "arrows". ）
也就是说，彼此之间存在某种关系的概念、事物、对象等等，都构成“范畴”。随便什么东西，只要能找出它们之间的关系，就能定义一个“范畴”。
上图中，各个点与它们之间的箭头，就构成一个范畴。
箭头表示范畴成员之间的关系，正式的名称叫做“态射”（morphism）。
范畴论认为，同一个范畴的所有成员，就是不同状态的“变形”（transformation）。通过“态射”，一个成员可以变形成另一个成员。
1.2 数学模型
既然“范畴”是满足某种变形关系的所有对象，就可以总结出它的数学模型。
- 所有成员是一个集合
- 变形关系是函数
也就是说，范畴论是集合论更上层的抽象，简单的理解就是“集合 + 函数”。
理论上通过函数，就可以从范畴的一个成员，算出其他所有成员。
1.3 范畴与容器
我们可以把“范畴”想象成是一个容器，里面包含两样东西。
- 值（value）
- 值的变形关系，也就是函数。
下面我们使用代码，定义一个简单的范畴。
class Category {
constructor(val) {
this.val = val;
}
addOne(x) {
return x + 1;
}
}
上面代码中，Category是一个类，也是一个容器，里面包含一个值（this.val）和一种变形关系（addOne）。你可能已经看出来了，这里的范畴，就是所有彼此之间相差1的数字。
注意，本文后面的部分，凡是提到“容器”的地方，全部都是指“范畴”。
1.4 范畴论与函数式编程的关系
范畴论使用函数，表达范畴的内部关系。
伴随着范畴论的发展，就发展出一整套函数的运算方法。这套方法起初只用于数学运算，后来有人将它在计算机上实现了，就变成了今天的“函数式编程”。
本质上，函数式编程只是范畴论的运算方法，跟数理逻辑、微积分、行列式是同一类东西，都是数学方法，只是碰巧它能用来写程序。
所以，你明白了吗，为什么函数式编程要求函数必须是纯的，不能有副作用？因为它是一种数学运算，原始目的就是求值，不做其他事情，否则就无法满足函数运算法则了。
总之，在函数式编程中，函数就是一个管道（pipe）。这头进去一个值，那头就会出来一个新的值，没有其他作用。
二、函数的合成与柯里化
函数式编程有两个最基本的运算：合成和柯里化。
2.1 函数的合成
如果一个值要经过多个函数，才能变成另外一个值，就可以把所有中间步骤合并成一个函数，这叫做“函数的合成”（compose）。
上图中，X和Y之间的变形关系是函数f，Y和Z之间的变形关系是函数g，那么X和Z之间的关系，就是g和f的合成函数g·f。
下面是合成两个函数的简单代码。
const compose = function (f, g) {
return function (x) {
return f(g(x));
};
}
函数的合成还必须满足结合律。
compose(f, compose(g, h))
// 等同于
compose(compose(f, g), h)
// 等同于
compose(f, g, h)
合成也是函数必须是纯的一个原因。因为一个不纯的函数，怎么跟其他函数合成？怎么保证各种合成以后，它会达到预期的行为？
前面说过，函数就像数据的管道（pipe）。那么，函数合成就是将这些管道连了起来，让数据一口气从多个管道中穿过。
2.2 柯里化
f(x)和g(x)合成为f(g(x))，有一个隐藏的前提，就是f和g都只能接受一个参数。如果可以接受多个参数，比如f(x, y)和g(a, b, c)，函数合成就非常麻烦。
这时就需要函数柯里化了。所谓“柯里化”，就是把一个多参数的函数，转化为单参数函数。
// 柯里化之前
function add(x, y) {
return x + y;
}
add(1, 2) // 3
// 柯里化之后
function addX(y) {
return function (x) {
return x + y;
};
}
add(2)(1) // 3
有了柯里化以后，我们就能做到，所有函数只接受一个参数。后文的内容除非另有说明，都默认函数只有一个参数，就是所要处理的那个值。
三、函子
函数不仅可以用于同一个范畴之中值的转换，还可以用于将一个范畴转成另一个范畴。这就涉及到了函子（Functor）。
3.1 函子的概念
函子是函数式编程里面最重要的数据类型，也是基本的运算单位和功能单位。
它首先是一种范畴，也就是说，是一个容器，包含了值和变形关系。比较特殊的是，它的变形关系可以依次作用于每一个值，将当前容器变形成另一个容器。
上图中，左侧的圆圈就是一个函子，表示人名的范畴。外部传入函数f，会转成右边表示早餐的范畴。
下面是一张更一般的图。
上图中，函数f完成值的转换（a到b），将它传入函子，就可以实现范畴的转换（Fa到Fb）。
3.2 函子的代码实现
任何具有map方法的数据结构，都可以当作函子的实现。
class Functor {
constructor(val) {
this.val = val;
}
map(f) {
return new Functor(f(this.val));
}
}
上面代码中，Functor是一个函子，它的map方法接受函数f作为参数，然后返回一个新的函子，里面包含的值是被f处理过的（f(this.val)）。
一般约定，函子的标志就是容器具有map方法。该方法将容器里面的每一个值，映射到另一个容器。
下面是一些用法的示例。
(new Functor(2)).map(function (two) {
return two + 2;
});
// Functor(4)
(new Functor('flamethrowers')).map(function(s) {
return s.toUpperCase();
});
// Functor('FLAMETHROWERS')
(new Functor('bombs')).map(_.concat(' away')).map(_.prop('length'));
// Functor(10)
上面的例子说明，函数式编程里面的运算，都是通过函子完成，即运算不直接针对值，而是针对这个值的容器——函子。函子本身具有对外接口（map方法），各种函数就是运算符，通过接口接入容器，引发容器里面的值的变形。
因此，学习函数式编程，实际上就是学习函子的各种运算。由于可以把运算方法封装在函子里面，所以又衍生出各种不同类型的函子，有多少种运算，就有多少种函子。函数式编程就变成了运用不同的函子，解决实际问题。
四、of 方法
你可能注意到了，上面生成新的函子的时候，用了new命令。这实在太不像函数式编程了，因为new命令是面向对象编程的标志。
函数式编程一般约定，函子有一个of方法，用来生成新的容器。
下面就用of方法替换掉new。
Functor.of = function(val) {
return new Functor(val);
};
然后，前面的例子就可以改成下面这样。
Functor.of(2).map(function (two) {
return two + 2;
});
// Functor(4)
这就更像函数式编程了。
五、Maybe 函子
函子接受各种函数，处理容器内部的值。这里就有一个问题，容器内部的值可能是一个空值（比如null），而外部函数未必有处理空值的机制，如果传入空值，很可能就会出错。
Functor.of(null).map(function (s) {
return s.toUpperCase();
});
// TypeError
上面代码中，函子里面的值是null，结果小写变成大写的时候就出错了。
Maybe 函子就是为了解决这一类问题而设计的。简单说，它的map方法里面设置了空值检查。
class Maybe extends Functor {
map(f) {
return this.val ? Maybe.of(f(this.val)) : Maybe.of(null);
}
}
有了 Maybe 函子，处理空值就不会出错了。
Maybe.of(null).map(function (s) {
return s.toUpperCase();
});
// Maybe(null)
六、Either 函子
条件运算if...else是最常见的运算之一，函数式编程里面，使用 Either 函子表达。
Either 函子内部有两个值：左值（Left）和右值（Right）。右值是正常情况下使用的值，左值是右值不存在时使用的默认值。
class Either extends Functor {
constructor(left, right) {
this.left = left;
this.right = right;
}
map(f) {
return this.right ?
Either.of(this.left, f(this.right)) :
Either.of(f(this.left), this.right);
}
}
Either.of = function (left, right) {
return new Either(left, right);
};
下面是用法。
var addOne = function (x) {
return x + 1;
};
Either.of(5, 6).map(addOne);
// Either(5, 7);
Either.of(1, null).map(addOne);
// Either(2, null);
上面代码中，如果右值有值，就使用右值，否则使用左值。通过这种方式，Either 函子表达了条件运算。
Either 函子的常见用途，是提供默认值。下面是一个例子。
Either
.of({address: 'xxx'}, currentUser.address)
.map(updateField);
上面代码中，如果用户没有提供地址，Either 函子就会使用左值的默认地址。
Either 函子的另一个用途是代替try...catch，使用左值表示错误。
function parseJSON(json) {
try {
return Either.of(null, JSON.parse(json));
} catch (e: Error) {
return Either.of(e, null);
}
}
上面代码中，左值为空，就表示没有出错，否则左值会包含一个错误对象e。一般来说，所有可能出错的运算，都可以返回一个 Either 函子。
七、ap 函子
函子里面包含的值，完全可能是函数。我们可以想象这样一种情况，一个函子的值是数值，另一个函子的值是函数。
function addTwo(x) {
return x + 2;
}
const A = Functor.of(2);
const B = Functor.of(addTwo)
上面代码中，函子A内部的值是2，函子B内部的值是函数addTwo。
有时，我们想让函子B内部的函数，可以使用函子A内部的值进行运算。这时就需要用到 ap 函子。
ap 是 applicative（应用）的缩写。凡是部署了ap方法的函子，就是 ap 函子。
class Ap extends Functor {
ap(F) {
return Ap.of(this.val(F.val));
}
}
注意，ap方法的参数不是函数，而是另一个函子。
因此，前面例子可以写成下面的形式。
Ap.of(addTwo).ap(Function.of(2))
// Ap(4)
ap 函子的意义在于，对于那些多参数的函数，就可以从多个容器之中取值，实现函子的链式操作。
function add(x) {
return function (y) {
return x + y;
};
}
Ap.of(add).ap(Maybe.of(2)).ap(Maybe.of(3));
// Ap(5)
上面代码中，函数add是柯里化以后的形式，一共需要两个参数。通过 ap 函子，我们就可以实现从两个容器之中取值。它还有另外一种写法。
Ap.of(add(2)).ap(Maybe.of(3));
八、Monad 函子
函子是一个容器，可以包含任何值。函子之中再包含一个函子，也是完全合法的。但是，这样就会出现多层嵌套的函子。
Maybe.of(
Maybe.of(
Maybe.of({name: 'Mulburry', number: 8402})
)
)
上面这个函子，一共有三个Maybe嵌套。如果要取出内部的值，就要连续取三次this.val。这当然很不方便，因此就出现了 Monad 函子。
**Monad 函子的作用是，总是返回一个单层的函子。**它有一个flatMap方法，与map方法作用相同，唯一的区别是如果生成了一个嵌套函子，它会取出后者内部的值，保证返回的永远是一个单层的容器，不会出现嵌套的情况。
class Monad extends Functor {
join() {
return this.val;
}
flatMap(f) {
return this.map(f).join();
}
}
上面代码中，如果函数f返回的是一个函子，那么this.map(f)就会生成一个嵌套的函子。所以，join方法保证了flatMap方法总是返回一个单层的函子。这意味着嵌套的函子会被铺平（flatten）。
九、IO 操作
Monad 函子的重要应用，就是实现 I/O （输入输出）操作。
I/O 是不纯的操作，普通的函数式编程没法做，这时就需要把 IO 操作写成Monad函子，通过它来完成。
var fs = require('fs');
var readFile = function(filename) {
return new IO(function() {
return fs.readFileSync(filename, 'utf-8');
});
};
var print = function(x) {
return new IO(function() {
console.log(x);
return x;
});
}
上面代码中，读取文件和打印本身都是不纯的操作，但是readFile和print却是纯函数，因为它们总是返回 IO 函子。
如果 IO 函子是一个Monad，具有flatMap方法，那么我们就可以像下面这样调用这两个函数。
readFile('./user.txt')
.flatMap(print)
这就是神奇的地方，上面的代码完成了不纯的操作，但是因为flatMap返回的还是一个 IO 函子，所以这个表达式是纯的。我们通过一个纯的表达式，完成带有副作用的操作，这就是 Monad 的作用。
由于返回还是 IO 函子，所以可以实现链式操作。因此，在大多数库里面，flatMap方法被改名成chain。
var tail = function(x) {
return new IO(function() {
return x[x.length - 1];
});
}
readFile('./user.txt')
.flatMap(tail)
.flatMap(print)
// 等同于
readFile('./user.txt')
.chain(tail)
.chain(print)
上面代码读取了文件user.txt，然后选取最后一行输出。