函数式编程入门教程

2020-06-24

Ann Ann

一、范畴论

函数式编程的起源,是一门叫做范畴论(Category Theory)的数学分支。

理解函数式编程的关键,就是理解范畴论。它是一门很复杂的数学,认为世界上所有的概念体系,都可以抽象成一个个的“范畴”(category)。

1.1 范畴的概念

什么是范畴呢?

维基百科的一句话定义如下。

“范畴就是使用箭头连接的物体。”(In mathematics, a category is an algebraic structure that comprises "objects" that are linked by "arrows". )

也就是说,彼此之间存在某种关系的概念、事物、对象等等,都构成“范畴”。随便什么东西,只要能找出它们之间的关系,就能定义一个“范畴”。

上图中,各个点与它们之间的箭头,就构成一个范畴。

箭头表示范畴成员之间的关系,正式的名称叫做“态射”(morphism)。

范畴论认为,同一个范畴的所有成员,就是不同状态的“变形”(transformation)。通过“态射”,一个成员可以变形成另一个成员。

1.2 数学模型

既然“范畴”是满足某种变形关系的所有对象,就可以总结出它的数学模型。

  • 所有成员是一个集合
  • 变形关系是函数

也就是说,范畴论是集合论更上层的抽象,简单的理解就是“集合 + 函数”。

理论上通过函数,就可以从范畴的一个成员,算出其他所有成员。

1.3 范畴与容器

我们可以把“范畴”想象成是一个容器,里面包含两样东西。

  • 值(value)
  • 值的变形关系,也就是函数。

下面我们使用代码,定义一个简单的范畴。

class Category {
  constructor(val) { 
    this.val = val; 
  }
  
  addOne(x) {
    return x + 1;
  }
}

上面代码中,Category是一个类,也是一个容器,里面包含一个值(this.val)和一种变形关系(addOne)。你可能已经看出来了,这里的范畴,就是所有彼此之间相差1的数字。

注意,本文后面的部分,凡是提到“容器”的地方,全部都是指“范畴”。

1.4 范畴论与函数式编程的关系

范畴论使用函数,表达范畴的内部关系。

伴随着范畴论的发展,就发展出一整套函数的运算方法。这套方法起初只用于数学运算,后来有人将它在计算机上实现了,就变成了今天的“函数式编程”。

本质上,函数式编程只是范畴论的运算方法,跟数理逻辑、微积分、行列式是同一类东西,都是数学方法,只是碰巧它能用来写程序。

所以,你明白了吗,为什么函数式编程要求函数必须是纯的,不能有副作用?因为它是一种数学运算,原始目的就是求值,不做其他事情,否则就无法满足函数运算法则了。

总之,在函数式编程中,函数就是一个管道(pipe)。这头进去一个值,那头就会出来一个新的值,没有其他作用。

二、函数的合成与柯里化

函数式编程有两个最基本的运算:合成和柯里化。

2.1 函数的合成

如果一个值要经过多个函数,才能变成另外一个值,就可以把所有中间步骤合并成一个函数,这叫做“函数的合成”(compose)。

上图中,XY之间的变形关系是函数fYZ之间的变形关系是函数g,那么XZ之间的关系,就是gf的合成函数g·f

下面是合成两个函数的简单代码。

const compose = function (f, g) {
  return function (x) {
    return f(g(x));
  };
}

函数的合成还必须满足结合律。

compose(f, compose(g, h))
// 等同于
compose(compose(f, g), h)
// 等同于
compose(f, g, h)

合成也是函数必须是纯的一个原因。因为一个不纯的函数,怎么跟其他函数合成?怎么保证各种合成以后,它会达到预期的行为?

前面说过,函数就像数据的管道(pipe)。那么,函数合成就是将这些管道连了起来,让数据一口气从多个管道中穿过。

2.2 柯里化

f(x)g(x)合成为f(g(x)),有一个隐藏的前提,就是fg都只能接受一个参数。如果可以接受多个参数,比如f(x, y)g(a, b, c),函数合成就非常麻烦。

这时就需要函数柯里化了。所谓“柯里化”,就是把一个多参数的函数,转化为单参数函数。

// 柯里化之前
function add(x, y) {
  return x + y;
}

add(1, 2) // 3

// 柯里化之后
function addX(y) {
  return function (x) {
    return x + y;
  };
}

add(2)(1) // 3

有了柯里化以后,我们就能做到,所有函数只接受一个参数。后文的内容除非另有说明,都默认函数只有一个参数,就是所要处理的那个值。

三、函子

函数不仅可以用于同一个范畴之中值的转换,还可以用于将一个范畴转成另一个范畴。这就涉及到了函子(Functor)。

3.1 函子的概念

函子是函数式编程里面最重要的数据类型,也是基本的运算单位和功能单位。

它首先是一种范畴,也就是说,是一个容器,包含了值和变形关系。比较特殊的是,它的变形关系可以依次作用于每一个值,将当前容器变形成另一个容器。

上图中,左侧的圆圈就是一个函子,表示人名的范畴。外部传入函数f,会转成右边表示早餐的范畴。

下面是一张更一般的图。

上图中,函数f完成值的转换(ab),将它传入函子,就可以实现范畴的转换(FaFb)。

3.2 函子的代码实现

任何具有map方法的数据结构,都可以当作函子的实现。

class Functor {
  constructor(val) { 
    this.val = val; 
  }
  
  map(f) {
    return new Functor(f(this.val));
  }
}

上面代码中,Functor是一个函子,它的map方法接受函数f作为参数,然后返回一个新的函子,里面包含的值是被f处理过的(f(this.val))。

一般约定,函子的标志就是容器具有map方法。该方法将容器里面的每一个值,映射到另一个容器。

下面是一些用法的示例。

(new Functor(2)).map(function (two) {
  return two + 2;
});
// Functor(4)

(new Functor('flamethrowers')).map(function(s) {
  return s.toUpperCase();
});
// Functor('FLAMETHROWERS')

(new Functor('bombs')).map(_.concat(' away')).map(_.prop('length'));
// Functor(10)

上面的例子说明,函数式编程里面的运算,都是通过函子完成,即运算不直接针对值,而是针对这个值的容器——函子。函子本身具有对外接口(map方法),各种函数就是运算符,通过接口接入容器,引发容器里面的值的变形。

因此,学习函数式编程,实际上就是学习函子的各种运算。由于可以把运算方法封装在函子里面,所以又衍生出各种不同类型的函子,有多少种运算,就有多少种函子。函数式编程就变成了运用不同的函子,解决实际问题。

四、of 方法

你可能注意到了,上面生成新的函子的时候,用了new命令。这实在太不像函数式编程了,因为new命令是面向对象编程的标志。

函数式编程一般约定,函子有一个of方法,用来生成新的容器。

下面就用of方法替换掉new

Functor.of = function(val) {
  return new Functor(val);
};

然后,前面的例子就可以改成下面这样。

Functor.of(2).map(function (two) {
  return two + 2;
});
// Functor(4)

这就更像函数式编程了。

五、Maybe 函子

函子接受各种函数,处理容器内部的值。这里就有一个问题,容器内部的值可能是一个空值(比如null),而外部函数未必有处理空值的机制,如果传入空值,很可能就会出错。

Functor.of(null).map(function (s) {
  return s.toUpperCase();
});
// TypeError

上面代码中,函子里面的值是null,结果小写变成大写的时候就出错了。

Maybe 函子就是为了解决这一类问题而设计的。简单说,它的map方法里面设置了空值检查。

class Maybe extends Functor {
  map(f) {
    return this.val ? Maybe.of(f(this.val)) : Maybe.of(null);
  }
}

有了 Maybe 函子,处理空值就不会出错了。

Maybe.of(null).map(function (s) {
  return s.toUpperCase();
});
// Maybe(null)

六、Either 函子

条件运算if...else是最常见的运算之一,函数式编程里面,使用 Either 函子表达。

Either 函子内部有两个值:左值(Left)和右值(Right)。右值是正常情况下使用的值,左值是右值不存在时使用的默认值。

class Either extends Functor {
  constructor(left, right) {
    this.left = left;
    this.right = right;
  }
  
  map(f) {
    return this.right ? 
      Either.of(this.left, f(this.right)) :
      Either.of(f(this.left), this.right);
  }
}

Either.of = function (left, right) {
  return new Either(left, right);
};

下面是用法。

var addOne = function (x) {
  return x + 1;
};

Either.of(5, 6).map(addOne);
// Either(5, 7);

Either.of(1, null).map(addOne);
// Either(2, null);

上面代码中,如果右值有值,就使用右值,否则使用左值。通过这种方式,Either 函子表达了条件运算。

Either 函子的常见用途,是提供默认值。下面是一个例子。

Either
.of({address: 'xxx'}, currentUser.address)
.map(updateField);

上面代码中,如果用户没有提供地址,Either 函子就会使用左值的默认地址。

Either 函子的另一个用途是代替try...catch,使用左值表示错误。

function parseJSON(json) {
  try {
    return Either.of(null, JSON.parse(json));
  } catch (e: Error) {
    return Either.of(e, null);
  }
}

上面代码中,左值为空,就表示没有出错,否则左值会包含一个错误对象e。一般来说,所有可能出错的运算,都可以返回一个 Either 函子。

七、ap 函子

函子里面包含的值,完全可能是函数。我们可以想象这样一种情况,一个函子的值是数值,另一个函子的值是函数。

function addTwo(x) {
  return x + 2;
}

const A = Functor.of(2);
const B = Functor.of(addTwo)

上面代码中,函子A内部的值是2,函子B内部的值是函数addTwo

有时,我们想让函子B内部的函数,可以使用函子A内部的值进行运算。这时就需要用到 ap 函子。

ap 是 applicative(应用)的缩写。凡是部署了ap方法的函子,就是 ap 函子。

class Ap extends Functor {
  ap(F) {
    return Ap.of(this.val(F.val));
  }
}

注意,ap方法的参数不是函数,而是另一个函子。

因此,前面例子可以写成下面的形式。

Ap.of(addTwo).ap(Function.of(2))
// Ap(4)

ap 函子的意义在于,对于那些多参数的函数,就可以从多个容器之中取值,实现函子的链式操作。

function add(x) {
  return function (y) {
    return x + y;
  };
}

Ap.of(add).ap(Maybe.of(2)).ap(Maybe.of(3));
// Ap(5)

上面代码中,函数add是柯里化以后的形式,一共需要两个参数。通过 ap 函子,我们就可以实现从两个容器之中取值。它还有另外一种写法。

Ap.of(add(2)).ap(Maybe.of(3));

八、Monad 函子

函子是一个容器,可以包含任何值。函子之中再包含一个函子,也是完全合法的。但是,这样就会出现多层嵌套的函子。

Maybe.of(
  Maybe.of(
    Maybe.of({name: 'Mulburry', number: 8402})
  )
)

上面这个函子,一共有三个Maybe嵌套。如果要取出内部的值,就要连续取三次this.val。这当然很不方便,因此就出现了 Monad 函子。

**Monad 函子的作用是,总是返回一个单层的函子。**它有一个flatMap方法,与map方法作用相同,唯一的区别是如果生成了一个嵌套函子,它会取出后者内部的值,保证返回的永远是一个单层的容器,不会出现嵌套的情况。

class Monad extends Functor {
  join() {
    return this.val;
  }
  flatMap(f) {
    return this.map(f).join();
  }
}

上面代码中,如果函数f返回的是一个函子,那么this.map(f)就会生成一个嵌套的函子。所以,join方法保证了flatMap方法总是返回一个单层的函子。这意味着嵌套的函子会被铺平(flatten)。

九、IO 操作

Monad 函子的重要应用,就是实现 I/O (输入输出)操作。

I/O 是不纯的操作,普通的函数式编程没法做,这时就需要把 IO 操作写成Monad函子,通过它来完成。

var fs = require('fs');

var readFile = function(filename) {
  return new IO(function() {
    return fs.readFileSync(filename, 'utf-8');
  });
};

var print = function(x) {
  return new IO(function() {
    console.log(x);
    return x;
  });
}

上面代码中,读取文件和打印本身都是不纯的操作,但是readFileprint却是纯函数,因为它们总是返回 IO 函子。

如果 IO 函子是一个Monad,具有flatMap方法,那么我们就可以像下面这样调用这两个函数。

readFile('./user.txt')
.flatMap(print)

这就是神奇的地方,上面的代码完成了不纯的操作,但是因为flatMap返回的还是一个 IO 函子,所以这个表达式是纯的。我们通过一个纯的表达式,完成带有副作用的操作,这就是 Monad 的作用。

由于返回还是 IO 函子,所以可以实现链式操作。因此,在大多数库里面,flatMap方法被改名成chain

var tail = function(x) {
  return new IO(function() {
    return x[x.length - 1];
  });
}

readFile('./user.txt')
.flatMap(tail)
.flatMap(print)

// 等同于
readFile('./user.txt')
.chain(tail)
.chain(print)

上面代码读取了文件user.txt,然后选取最后一行输出。

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