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Composite functions

function composition prompt example

#TL;DR（中文）

  • 这是一个
    code
    function composition
    的测试：给
    code
    g(x)=f^{-1}(x)
    与若干映射点，反推出
    code
    f
    的对应关系，再计算
    code
    f(f(f(6)))
    。
  • 适合用来测：模型是否能把 inverse mapping 处理正确、是否会在多次 composition 时出错。
  • 落地建议：要求模型输出 mapping table，并在每一步 composition 后输出中间值。

#Background

This prompt tests an LLM's mathematical capabilities by prompting it to evaluate a function composition.

#How to Apply（中文）

建议按 “先建立映射，再逐步计算” 的流程：

  1. 由
    code
    g(x)=f^{-1}(x)
    得到：
    code
    f(g(x)) = x
    （也就是把
    code
    g
    的 pairs 反向得到
    code
    f
    的 pairs）
  2. 用表格列出
    code
    f
    的 mapping（例如
    code
    f(5)=0
    ,
    code
    f(7)=4
    等）
  3. 依次计算
    code
    f(6) → f(f(6)) → f(f(f(6)))

#How to Iterate（中文）

  1. 强制输出
    code
    mapping table
    （结构化）后再给最终答案
  2. 加
    code
    self-check
    ：把
    code
    f
    与
    code
    g
    互相验证（检查
    code
    g(f(x)) = x
    在给定点是否成立）
  3. 对抗测试：增加更多点、加入干扰点、或让
    code
    f
    非单射的情况看模型是否能发现矛盾

#Self-check rubric（中文）

  • 是否正确理解
    code
    inverse
    关系并构造了
    code
    f
    的映射？
  • composition 是否逐步计算且中间值正确？
  • 是否检查了映射是否一致（无冲突）？

#Practice（中文）

练习：把问题改成

code
f(f(2))
、
code
f(f(f(9)))
等不同目标，并要求模型输出：

  • mapping table
  • 每一步中间值
  • 简短的 consistency check

#Prompt

text
Suppose g(x) = f^{-1}(x), g(0) = 5, g(4) = 7, g(3) = 2, g(7) = 9, g(9) = 6.
What is f(f(f(6)))?

#Code / API

#OpenAI (Python)

python
from openai import OpenAI

client = OpenAI()

response = client.chat.completions.create(
    model="gpt-4",
    messages=[
        {
            "role": "user",
            "content": "Suppose g(x) = f^{-1}(x), g(0) = 5, g(4) = 7, g(3) = 2, g(7) = 9, g(9) = 6. What is f(f(f(6)))?",
        }
    ],
    temperature=1,
    max_tokens=256,
    top_p=1,
    frequency_penalty=0,
    presence_penalty=0,
)

#Fireworks (Python)

python
import fireworks.client

fireworks.client.api_key = "<FIREWORKS_API_KEY>"

completion = fireworks.client.ChatCompletion.create(
    model="accounts/fireworks/models/mixtral-8x7b-instruct",
    messages=[
        {
            "role": "user",
            "content": "Suppose g(x) = f^{-1}(x), g(0) = 5, g(4) = 7, g(3) = 2, g(7) = 9, g(9) = 6. What is f(f(f(6)))?",
        }
    ],
    stop=["<|im_start|>", "<|im_end|>", "<|endoftext|>"],
    stream=True,
    n=1,
    top_p=1,
    top_k=40,
    presence_penalty=0,
    frequency_penalty=0,
    prompt_truncate_len=1024,
    context_length_exceeded_behavior="truncate",
    temperature=0.9,
    max_tokens=4000,
)

#Reference

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