Composite functions

TL;DR（中文）

• 这是一个 function composition 的测试：给 g(x)=f^{-1}(x) 与若干映射点，反推出 f 的对应关系，再计算 f(f(f(6)))。
• 适合用来测：模型是否能把 inverse mapping 处理正确、是否会在多次 composition 时出错。
• 落地建议：要求模型输出 mapping table，并在每一步 composition 后输出中间值。

Background

This prompt tests an LLM's mathematical capabilities by prompting it to evaluate a function composition.

How to Apply（中文）

建议按 “先建立映射，再逐步计算” 的流程：

1. 由 g(x)=f^{-1}(x) 得到：f(g(x)) = x（也就是把 g 的 pairs 反向得到 f 的 pairs）
2. 用表格列出 f 的 mapping（例如 f(5)=0, f(7)=4 等）
3. 依次计算 f(6) → f(f(6)) → f(f(f(6)))

How to Iterate（中文）

1. 强制输出 mapping table（结构化）后再给最终答案
2. 加 self-check：把 f 与 g 互相验证（检查 g(f(x)) = x 在给定点是否成立）
3. 对抗测试：增加更多点、加入干扰点、或让 f 非单射的情况看模型是否能发现矛盾

Self-check rubric（中文）

• 是否正确理解 inverse 关系并构造了 f 的映射？
• composition 是否逐步计算且中间值正确？
• 是否检查了映射是否一致（无冲突）？

Practice（中文）

练习：把问题改成 f(f(2))、f(f(f(9))) 等不同目标，并要求模型输出：

• mapping table
• 每一步中间值
• 简短的 consistency check

Prompt

Suppose g(x) = f^{-1}(x), g(0) = 5, g(4) = 7, g(3) = 2, g(7) = 9, g(9) = 6.
What is f(f(f(6)))?

Code / API

OpenAI (Python)

from openai import OpenAI

client = OpenAI()

response = client.chat.completions.create(
    model="gpt-4",
    messages=[
        {
            "role": "user",
            "content": "Suppose g(x) = f^{-1}(x), g(0) = 5, g(4) = 7, g(3) = 2, g(7) = 9, g(9) = 6. What is f(f(f(6)))?",
        }
    ],
    temperature=1,
    max_tokens=256,
    top_p=1,
    frequency_penalty=0,
    presence_penalty=0,
)

Fireworks (Python)

import fireworks.client

fireworks.client.api_key = "<FIREWORKS_API_KEY>"

completion = fireworks.client.ChatCompletion.create(
    model="accounts/fireworks/models/mixtral-8x7b-instruct",
    messages=[
        {
            "role": "user",
            "content": "Suppose g(x) = f^{-1}(x), g(0) = 5, g(4) = 7, g(3) = 2, g(7) = 9, g(9) = 6. What is f(f(f(6)))?",
        }
    ],
    stop=["<|im_start|>", "<|im_end|>", "<|endoftext|>"],
    stream=True,
    n=1,
    top_p=1,
    top_k=40,
    presence_penalty=0,
    frequency_penalty=0,
    prompt_truncate_len=1024,
    context_length_exceeded_behavior="truncate",
    temperature=0.9,
    max_tokens=4000,
)

Reference

• Sparks of Artificial General Intelligence: Early experiments with GPT-4 (13 April 2023)